РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 420 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2011

Сложность: V

Разные задачи

Основанием пирамиды SABCD является ромб со стороной $корень из: начало аргумента: 66 конец аргумента$ и углом BAD, равным $арккосинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .$ Ребро SD перпендикулярно основанию, а ребро SB образует с основанием угол 60°. Найдите радиус R сферы, проходящей через точки A, B, C и середину ребра SB. В ответ запишите значение выражения R².

Решение. По теореме косинусов имеем:

$BD = корень из: начало аргумента: левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 66 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 66 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате минус 2 умножить на косинус левая круглая скобка арккосинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: 66 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 66 конец аргумента конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента .$ $BD =$
$= корень из: начало аргумента: левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 66 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 66 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате минус 2 умножить на косинус левая круглая скобка арккосинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: 66 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 66 конец аргумента конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента .$

К тому же

$BM = MS = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BS = BD = корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента .$

Отрезок AC пересекает BD в точке O, точка M  — середина BS, тогда по теореме косинусов:

$AC = корень из: начало аргумента: левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 66 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 66 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате минус 2 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: 66 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 66 конец аргумента конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 231 конец аргумента .$ $AC =$
$= корень из: начало аргумента: левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 66 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 66 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате минус 2 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: 66 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 66 конец аргумента конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 231 конец аргумента .$

Найдем радиус окружности, описанной около треугольника ABC. Заметим, что

$синус ABC = корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 16 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

По теореме синусов:

$2R_ABC = дробь: числитель: AC, знаменатель: синус ABC конец дроби равносильно R_ABC = 2 корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента .$

Продлим BD до точки P, BP  =   $4 корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента .$

Радиус окружности, описанной около треугольника BMP  — искомый. Тогда по теореме косинусов:

$MP = корень из: начало аргумента: BM в квадрате плюс BP в квадрате минус 2 косинус B конец аргумента умножить на BM умножить на BP =$
$= корень из: начало аргумента: 33 плюс 528 минус 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента умножить на 4 корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента конец аргумента = корень из: начало аргумента: 429 конец аргумента .$ $MP =$
$= корень из: начало аргумента: BM в квадрате плюс BP в квадрате минус 2 косинус B конец аргумента умножить на BM умножить на BP =$
$= корень из: начало аргумента: 33 плюс 528 минус 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента умножить на 4 корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 429 конец аргумента .$